Vyvážený rotující kotouč

Zadání

Ventilátor se roztáčí na provozní otáčky vlivem momentu od motoru s úhlovým zrychlením $\alpha$. Určete velikost radiální reakce v uložení ventilátoru a velikost hnacího momentu.

Obrázek

Dáno: $\class{hmotnost}{m}$, $\class{polomer}{R}$, $\class{uhlove_zrychleni}{\alpha}$.

Sestavte rovnice rovnováhy.

Řešení

Za referenční bod zvolíme takový bod, který se z pohledu kinematiky pohybuje co nejjednodušším způsobem. Osa rotace $O$ kotouče je bodem tělesa, který se nepohybuje a proto jej zvolíme za referenční bod. Rychlost a zrychlení referenčního bodu je tedy v našem případě nulové ($a_O=0$ a $v_O=0$).

Jelikož se jedná o vyvážený kotouč, je osa rotace totožná s těžištěm $O \equiv S$ a tudíž je i excentricita rovna nule ($e=0$).

Obrázek uvolnění

Zrychlení referenčního bodu je rovno nule, proto bude d'Alembertova síla $$D=m a_O=0.$$ Tečná dynamická síla je funkcí excentricity která je nulová a proto bude $$T_D=m e \alpha=0.$$ Z důvodu nulové excentricity $e$ se v uvolnění neobjeví ani odstředivá síla $$O=m e \omega^2=0.$$ Setrvačný moment určíme jako součin momentu setrvačnosti a úhlového zrychlení $$M_D=J_A \alpha .$$

Rovnice dynamické rovnováhy jsou: $$ \begin{align} \rightarrow x &:\, R_x = 0, \newline \uparrow y &:\, R_y-mg = 0, \newline \curvearrowright O &:\, M_H-M_D = 0. \end{align} $$