Nevyvážený rotující kotouč s konstantními otáčkami

Zadání

Ventilátor se otáčí v provozním stavu konstantní úhlovou rychlostí $\omega$. Odpor lopatek ventilátoru je popsán pomocí odporového momentu $M_O=k\omega^2$. Vlivem poškození jedné z lopatek dojde k posunu těžiště od osy rotace o hodnotu $e$. Určete velikost radiální reakce v uložení ventilátoru a velikost hnacího momentu motoru.

Obrázek

nevyvazeny kotouc

Dáno: $\class{hmotnost}{m}$, $\class{polomer}{R}$, $\class{moment_setrvacnosti}{J_A}$, $\class{uhlova_rychlost}{\omega}$, $\class{excentricita}{e}$. Sestavte rovnice rovnováhy.

Řešení

Za referenční bod zvolíme takový bod, který se z pohledu kinematiky pohybuje co nejjednodušším způsobem. Osa rotace $O$ kotuče je bodem tělesa, který se nepohybuje a proto jej zvolíme za referenční bod. Rychlost a zrychlení referenčního bodu je tedy v našem případě nulové ($a_O=0$ a $v_O=0$).

Obrázek uvolnění

nevyvazeny kotouc

Zrychlení referenčního bodu je rovno nule, proto bude d'Alembertova síla $$\class{dAlembert}{D}=m\, a_O=0.$$

Úhlové zrychlení spočítáme jako derivaci zadané konstantní úhlové rychlosti $$\class{uhlove_zrychleni}{\alpha}=\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t}=0$$

a potom bude tečná dynamická síla rovna

$$T_D=m \,e \, \alpha=0.$$

Odstředivá síla bude

$$\class{odstrediva_sila}{O}=m\, \class{vzdalenost}{e}\, \class{uhlova_rychlost}{\omega}^2.$$

Setrvačný moment určíme jako součin momentu setrvačnosti a nulového úhlového zrychlení, tedy $$M_D=J_A \,\alpha=0 .$$

Rovnice dynamické rovnováhy sestavíme v lokálním souřadnicovém systému (t,n):

$$ \begin{align} \nearrow n &:\, R_n+O-m\,g\, \sin(\varphi)=0, \newline \nwarrow t &:\, R_t-m\,g\, \cos(\varphi)=0, \newline \curvearrowright O &:\, -M_H+M_O+m\, g\, e\, \cos(\varphi)=0. \end{align} $$

Po dosazení dostaneme $$ \begin{align} \nearrow n &:\, R_n+m\, e\, \omega^2-m\,g\, \sin(\varphi)=0, \newline \nwarrow t &:\, R_t-m\,g\, \cos(\varphi)=0, \newline \curvearrowright O &:\, -M_H+k\omega^2+m\, g\, e\, \cos(\varphi)=0. \end{align} $$

Řešením soustavy rovnic získáme vztahy pro reakce a hnací moment $$ \begin{align} R_n&=-m\, e\, \omega^2+m\,g\, \sin(\varphi), \newline R_t&= m\, g\, \cos(\varphi), \newline M_H&= k\omega^2+m\, g\, e\, \cos(\varphi). \end{align} $$