Soustava těles bez pasivních odporů řešená uvolňovací metodou

Zadání

Soustava těles dle obrázku se pohybuje po nakloněné rovině bez uvažování pasivních odporů za pomoci zadané síly $F$. Sestavte pohybovou rovnici za použití uvolňovací metody.

Obrázek

$$$$

Dáno: $m_2$, $m_3$, $R$, $H$, $\beta$, $J_{S3}$, $k_1$, $L_{10}$, $k_2$, $L_{20}$, $b$, $(f)$, $F$.

Odvoďte pohybovou rovnici.

Řešení

• Protože zadání není zakresleno v obecné poloze, překreslíme si obrázek do obecné polohy a definujeme si polohy jednotlivých těles.

• Tělesa uvolníme a v obecné poloze zakreslíme vnější a reakční síly známé ze statiky (reakce od podložky a sousedících těles, síly od pružin a tlumičů, tíhy, vnější zatížení, ...).

• Určíme druh pohybu pro jednotlivá tělesa. V našem případě se těleso 2 pohybuje posuvným pohybem s kladnou rychlostí šikmo vpravo nahoru. Těleso 3 se pohybuje obecným rovinným pohybem s kladným smyslem úhlového zrychlení po směru hodinových ručiček.

• Zakreslíme d'Alembertovu sílu $D_2$ do těžiště tělesa 2 $S_2$.

• Zvolíme si referenční bod na tělese 3 (ideálně těžiště $S_3$). Zavedeme d'Alembertovu sílu $D_3$ do těžiště tělesa 3. Jelikož je referenční bod zároveň těžištěm tělesa 3, bude odstředivá a tečná dynamická síla rovna nule. Posledním dynamickým účinkem je tedy dynamický moment, působící proti úhlovému zrychlení.

Zakreslení v obecné poloze

Obrázek uvolnění

Těleso 2

Těleso 3

Rovnice dynamické rovnováhy sestavíme pro každé těleso zvlášť v lokálním souřadnicovém systému (x,y).

Pro těleso 2:

$$\begin{array}{rl}\swarrow x& :F_T+F_{P1}+D_2-F-R_{23}+m_{2}g\sin (\beta )=0,\\ \nwarrow y& :N_2-m_{2}g\cos (\beta )=0,\\ \curvearrowright S_2& :M_{R1}-R_{23}(R-H)=0.\end{array}$$

Pro těleso 3:

$$\begin{array}{rl}\swarrow x& :R_{23}+D_3+F_{P2}-R_{T3}+m_{3}g\sin (\beta )=0,\\ \nwarrow y& :N_3-m_{3}g\cos (\beta )=0,\\ \curvearrowright S_3& :M_{D3}+R_{T3}R=0.\end{array}$$

Specifikujme nyní jednotlivé síly, které jsme použili v rovnicích dynamické rovnováhy.

Síla v tlumiči je rovna součinu koeficientu tlumení $b$ a pístové rychlosti tlumiče ${\dot{x}}_2$

$$F_T=b{\dot{x}}_2.$$

Síla v pružině $F_{P1}$ je úměrná tuhosti $k_1$ a deformaci od volné délky. Vzhledem k vhodně zvolenému kótování polohy tělesa 2 je deformace pružiny právě rovna hodnotě $x_2$ a tedy

$$F_{P1}=k_1{x}_2.$$

d'Alembertova setrvačná síla $D_2$ je rovna součinu hmotnosti tělesa $m_2$ a zrychlení libovolného bodu na tělese (vycházíme z vlastností posuvného pohybu tělesa)

$$D_2=m_2{\ddot{x}}_2.$$

d'Alembertova setrvačná síla $D_3$ je rovna součinu hmotnosti tělesa $m_3$ a zrychlení referenčního bodu $S_3$ na tělese 3 (vycházíme z vlastností obecného rovinného pohybu tělesa). Zrychlení

$$D_2=m_3{\ddot{x}}_{S3}.$$

Síla v pružině $F_{P2}$ je úměrná tuhosti $k_2$ a deformaci od volné délky. Vzhledem k vhodně zvolenému kótování polohy tělesa 3 právě od volné délky je deformace pružiny rovna hodnotě $x_3$ a tedy

$$F_{P2}=k_2{x}_3.$$

Setrvačný (dynamický) moment $M_{D3}$ je roven součinu úhlového zrychlení a momentu setrvačnosti k referenčnímu bodu $S_3$

$$M_{D3}=J_{S3}\alpha .$$

Po dosazení do rovnic dynamické rovnováhy dostaneme:

$$\begin{array}{rl}b{\dot{x}}_2+k_1{x}_2+m_2{\ddot{x}}_2-F-R_{23}+m_{2}g\sin (\beta )& =0(1)\\ N_2-m_{2}g\cos (\beta )& =0(2)\\ M_{R1}-R_{23}(R-H)& =0(3)\\ R_{23}+m_3{\ddot{x}}_{S3}+k_2{x}_3-R_{T3}+m_{3}g\sin (\beta )& =0(4)\\ N_3-m_{3}g\cos (\beta )& =0(5)\\ J_{S3}\alpha +R_{T3}R& =0(6)\end{array}$$

Nyní máme soustavu 6 rovnic pro neznámé $x_2$, $R_{23}$, $N_2$, $M_{R1}$, ${\ddot{x}}_{S3}$, $x_3$, $R_{T3}$, $N_3$, $\alpha$, tj. 9 neznámých.

Musíme pro řešení přidat kinematické rovnice: Vzdálenost $A$ mezi stěnami rámu je konstantní a v počáteční poloze ji lze zapsat jako $$L=L_{10}+L+R+L_{20},$$ zatímco v obecné poloze $$L=L_{10}+x_2+L+R-x_3+L_{20}.$$

Srovnáním obou výrazů dostaneme

$$\cancel{L_{10}}+\cancel{L}+\cancel{R}+\cancel{L_{20}}=\cancel{L_{10}}+x_2+\cancel{L}+\cancel{R}-x_3+\cancel{L_{20}}\Rightarrow x_2-x_3=0\Rightarrow x_2=x_3.$$

Polohu referenčního bodu $S_3$ lze vyjádřit jako $$x_{S3}=L_{10}+x_2+L+R,$$ což po dvojím zderivování dává

$${\dot{x}}_{S3}={\dot{x}}_2\to {\ddot{x}}_{S3}={\ddot{x}}_2.$$

Třetí kinematickou rovnicí je vztah mezi zrychlením středu válce ${\ddot{x}}_{S3}$ a úhlovou rychlostí $\alpha$ při valení

$${\ddot{x}}_{S3}=R\alpha \Rightarrow \alpha =\frac{{\ddot{x}}_{S3}}{R}=\frac{{\ddot{x}}_2}{R}$$

Pohybovou rovnici sestavíme s pomocí rovnice (6), do které dosadíme za neznámou $R_{T3}$ z rovnice (4). Tím si ovšem přidáme neznámou $R_{23}$. Hodnotu $R_{23}$ lze přímo vyjádřit z rovnice (1).

$$(6)\to J_{S3}\frac{{\ddot{x}}_2}{R}+R_{T3}R=0$$

$$(4)\to R_{T3}=R_{23}+m_3{\ddot{x}}_{S3}+k_2{x}_3+m_{3}g\sin (\beta )$$

$$(1)\to R_{23}=b{\dot{x}}_2+k_1{x}_2+m_2{\ddot{x}}_2-F+m_{2}g\sin (\beta )$$

Dosazením z kinematických rovnic dostaneme pohybovou rovnici: $$J_{S3}\frac{{\ddot{x}}_2}{R}+(b{\dot{x}}_2+k_1{x}_2+m_2{\ddot{x}}_2-F+m_{2}g\sin (\beta )+m_3{\ddot{x}}_2+k_2{x}_2+m_{3}g\sin (\beta ))R=0.$$

Rovnici vydělíme $R$ a seřadíme členy dle derivací $x_2$, čímž dostaneme hledaný konečný tvar pohybové rovnice:

$$\ddot{x_2}(\frac{J_{S3}}{R^2}+m_2+m_3){\dot{x}}_{2}b+x_2(k_1+k_2)=F-g\sin \beta (m_2+m_3).$$